Как найти корень уравнения с дробями

Содержание

Практика. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений. урок. Алгебра 8 Класс

На этом уроке мы потренируемся решать квадратные и дробно-рациональные уравнения, отработаем различные методы их решения.

Математической моделью практических задач могут быть разные уравнения. В школе мы чаще всего будем сталкиваться с линейными и квадратными уравнениями, которые уже умеем решать. Но иногда могут встречаться и более сложные уравнения.

Существуют компьютерные алгоритмы, которые позволяют приближенно найти решение практически любого уравнения, а вот точное решение найти удастся не всегда.

На этом уроке мы рассмотрим некоторые приемы, которые позволяют эквивалентными преобразованиями свести более сложные уравнения к тем, которые мы уже умеем решать, – линейным и квадратным.

Задание 1. Решить уравнение:

Решение.

Воспользуемся свойством степеней и перепишем уравнение в виде:

Обратим внимание, что неизвестная величина присутствует в уравнении только в составе «конструкции» . В таком случае применяют метод замены переменной.

Суть его состоит в том, что эту повторяющуюся конструкцию мы заменяем новой переменной:

Заменяя на , получаем уравнение:

Получили квадратное уравнение. С его решением вы можете ознакомиться ниже.

Решение квадратного уравнения с помощью дискриминанта

Имеем следующее квадратное уравнение:

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты из общего вида квадратного уравнения:

Тогда:

Найдем корни квадратного уравнения:

Ответ: .

Далее решения линейных и квадратных уравнений не будут разбираться подробно. Внимание будет сконцентрировано на том, как свести более сложное уравнение к линейному или квадратному. Если же у вас возникают проблемы при решении линейных или квадратных уравнений, пересмотрите соответствующие уроки:

Решаем уравнение, получаем корни:

Мы нашли значения . Но в исходном уравнении фигурировала переменная , и решить уравнение – значит, найти значения . Вернемся к замене:

Тогда:

Получили два квадратных уравнения. Первое уравнение имеет два решения:

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: .

В процессе решения нам пришлось дважды решать квадратные уравнения: сначала для переменной , затем для переменной . Поэтому такие уравнения, в которых присутствуют только -я и -я степень неизвестной, а также свободный член, называются биквадратными уравнениями, т. е. «дважды квадратными»:

Теперь перейдем к решению дробно-рациональных уравнений. По названию понятно – это те уравнения, которые содержат в себе дробно-рациональные выражения. Если вы забыли, что это за выражения и как с ними работать, рекомендуем пересмотреть соответствующий видеоурок: «Дробно-рациональные выражения».

При решении дробно-рациональных уравнений важно:

в самом начале найти ОДЗ выражений, которые встречаются в уравнении;
после нахождения корней нужно проверить, входят ли они в ОДЗ.

Рассмотрим несколько примеров простейших дробно-рациональных уравнений.

Задание 2.Решить уравнение:

Решение.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю, т. е. ОДЗ:

Поскольку , можем умножить обе части уравнения на , чтобы избавиться от дроби, тогда:

Получили линейное уравнение, решением которого является . Это решение входит в ОДЗ, ведь .

Ответ: .

Задание 3.Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на . Мы это можем сделать, поскольку , тогда:

Раскроем скобки, перенесем все слагаемые в одну сторону, приведем подобные слагаемые. Получим квадратное уравнение:

Найдем корни этого уравнения:

Первый корень не входит в ОДЗ. Поэтому не является решением уравнения.

Ответ: .

Решим более сложные дробно-рациональные уравнения.

Задание 4. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Решим каждое из этих неравенств:

Можем объединить эти неравенства в одно:

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

Выполним сложение дробей – для этого разложим знаменатели на множители:

Приведем все дроби к общему знаменателю :

Тогда:

Дробь равна , если ее числитель равен :

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение:

Найдем корни квадратного уравнения:

Корень не входит в ОДЗ.

Ответ:

Отметим, что для решения дробно-рациональных уравнений можно использовать разные способы. Первый – это умножить обе части уравнения на некоторые выражения так, чтобы избавиться от дробей. Таким способом мы решили первые два примера с дробно-рациональными выражениями.

Второй способ – перенести все слагаемые в одну сторону, преобразовать выражение и приравнять числитель полученной дроби к нулю. Так мы решили последний пример. Вы можете выбрать тот способ, который вам удобнее и понятнее. Главное в каждом из них – не забывать про ОДЗ.

Задание 5. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Решим эти неравенства:

Обратим внимание, что неизвестная присутствует в уравнении в похожих конструкциях , которые являются взимнообратными выражениями. В таком случае можно применить метод замены переменной:

Тогда:

Исходное уравнение будет иметь вид:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на , при этом , поскольку :

Получили квадратное уравнение, решениями которого являются:

Вернемся к замене:

Решаем первое уравнение:

Решаем второе уравнение:

Полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:.

Задание 6. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

В подобных уравнениях стандартной является замена:

Чтобы выразить через , произведем следующие действия:

После замены исходное уравнение будет иметь вид:

Преобразуя это выражение, получаем квадратное уравнение:

Найдем корни уравнения:

Вернемся к замене:

Поскольку , можем умножить обе части каждого из уравнений на и получить квадратные уравнения:

Первое уравнение имеет решения:

Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Второе уравнение не имеет вещественных корней.

Ответ: .

Теперь перейдем к решению иррациональных уравнений. Так называются уравнения, которые содержат операцию извлечения корня из переменной.

Задание 7. Решить уравнение:

Решение.

Как мы знаем, выражение имеет смысл только для значения . Поэтому ОДЗ для данного уравнения будет следующей:

Чтобы привести иррациональное уравнение к линейному или квадратному, нужно избавиться от иррациональности. В данном случае – избавиться от квадратного корня. Для этого воспользуемся свойством корня:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Получили линейное уравнение, корнем которого является:

Полученное значение входит в ОДЗ:

При решении уравнения мы возвели обе части уравнения в квадрат, при этом могли возникнуть посторонние корни, т. е. те, которые не являются решением исходного уравнения.

Посторонние корни

Операция возведения в квадрат обеих частей равенства не является равносильным преобразованием. При применении этой операции можно получить из неправильного равенства правильное. Например, равенство очевидно неправильное. Но при возведении в квадрат получим правильное:

При этом из правильного равенства мы не получим неправильное, ведь если числа равны, то их квадраты также равны.

Поэтому любой корень исходного уравнения является корнем уравнения, полученного после возведения в квадрат обеих частей. Но не все корни полученного уравнения являются корнями исходного. Могут возникнуть посторонние корни.

Чтобы исключить их, проще всего выполнить проверку, подставив полученные значения в исходное уравнение.

Выполним проверку. Подставим полученный корень в исходное уравнение:

Мы получили правильное равенство, значит, является решением уравнения.

Ответ: .

Задание 8. Решить уравнение:

Решение.

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому ОДЗ будет следующей:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

После преобразования получим квадратное уравнение:

Найдем корни уравнения:

Проверим, входят ли корни в ОДЗ.

Неравенство неверное, значит, корень не входит в ОДЗ и не является решением исходного уравнения.

Корень входит в ОДЗ.

Теперь выполним проверку, подставив в исходное уравнение:

Получили правильное равенство, следовательно, исходное уравнение имеет один корень .

Ответ:.

Заключение

Итак, сегодня мы познакомились с некоторыми приемами, которые позволяют свести уравнения высших порядков, дробно-рациональные и иррациональные уравнения к квадратным и линейным уравнениям.

Список литературы

Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Решить биквадратное уравнение:

2. Решить дробно-рациональное уравнение:

3. Решить иррациональное уравнение:

Как найти корень уравнения с дробями

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна с переменной в знаменателе. Например: \(\frac{9×2-1}{3x}\)\(=0\) \(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\) \(\frac{6}{x+1}=\frac{x2-5x}{x+1}\) Пример не дробно-рациональных уравнений: \(\frac{9×2-1}{3}\)\(=0\) \(\frac{x}{2}\)\(+8×2=6\) Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать .

И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения: Выпишите и «решите» ОДЗ. Найдите . Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Запишите уравнение, не раскрывая скобок. и приведите . Решите полученное уравнение.

Уравнения с дробями

Линейные уравнения с дробями в 6 классе можно решать по обычной схеме: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знак.

Другой путь — предварительно упростить уравнение, превратив его из линейного уравнения с дробями в линейное уравнение с целыми числами. Сначала на примере одного линейного уравнения с дробями рассмотрим оба способа решения.

1 способ: Это — линейное уравнение.

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Приводим дроби в каждой части уравнения:

Линейные уравнения с дробями

не содержат переменной в знаменателе.

данных дробей равен 6.

Умножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель:

В результате наименьший общий знаменатель и знаменатель каждой дроби сокращаются, и получаем , не содержащее дробей.

Как решать дробные уравнения?

Итак, друзья, продолжаем осваивать решение основных типов алгебраических уравнений. Особенно – в . Но для успешного их решения жизненно необходимо ориентироваться в трёх смежных темах: 1.

Дроби и действия с дробями и дробными выражениями. 2. . 3. Решение и уравнений. Без этих трёх китов браться за решение дробных уравнений слишком уж самонадеянно, я бы сказал.

Почему? Да потому, что непонимание, как, скажем, работать с дробями (сокращать, приводить к общему знаменателю и т.д.) автоматически будет приводить к полному провалу и в дробных уравнениях.

Уравнения с дробями 6 класса по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте.

Так же читайте нашу статью \[\frac {1}{x} — 3 = 2\] Это уравнения с дробями. Его можно решить с помощью умножения левой и правой части на многочлен \[x — 3:\] \[1 = 2 (x — 3)\] Решив данное уравнение, мы получим: \[x = \frac {7}{2}\] Это и есть единственный корень данного уравнения.

Решим уравнение следующего вида: \[\frac {x-2}{3} — \frac {3x}{2}=5\] Найдем

Рациональное уравнение.
Исчерпывающий гид (2019)

Важное замечание!

Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш.

Как это сделать в твоем браузере написано здесь: Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения. Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные: как думаешь, какое это?

Тут сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное! – вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное);

Как решать уравнения с дробями

Уравнения с дробями сами по себе не трудны и очень интересны.

Рассмотрим виды дробных уравнений и способы их решения. В случае, если дано дробное уравнение, где неизвестное находится в числителе, решение не требует дополнительных условий и решается без лишних хлопот. Общий вид такого уравнения – x/a + b = c, где x – неизвестное, a,b и с – обычные числа.

Пример 1: Найти x: x/5 + 10 = 70. Для того чтобы решить уравнение, нужно избавиться от дробей. Умножаем каждый член уравнения на 5: 5x/5 + 5×10 = 70×5.

5x и 5 сокращается, 10 и 70 умножаются на 5 и мы получаем: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Пример 2: Найти x: x/5 + x/10 = 90.

Данный пример – немного усложненная версия первого. Тут есть два варианта решения.

Вариант 1: Избавляемся от дробей, умножая все члены уравнения на больший знаменатель, то есть на 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300. Вариант 2: Складываем левую часть уравнения.

ЕГЭ. Задание В5. Простейшие уравнения

Проверяемые требования (умения): уметь решать уравнения и неравенства. Задание В5 — первое задание, хотя и простое, — из программы по математике старших классов. В открытом банке заданий представлены простейшие уравнения различных видов: 1.

Алгебраические целые уравнения 2. Дробно-рациональные 3. Иррациональные 4.

Показательные 5. Логарифмические 6. Тригонометрические Разберем поочередно все виды.

Такие уравнения изучались вами еще в 7-9 классах. Помните, что решением должно быть одно целое число или конечная десятичная дробь.

Никаких округлений. Если так не получается, ищите ошибку в своем решении. Рассмотрим примеры прототипов. Задача 1.

Найдите корень уравнения: Решение: Это линейное уравнение.

Стремимся к тому, чтобы в левой части остался только х и больше ничего.

Умножим обе части уравнения на -9 (не забываем поменять знаки)

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах.

Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.

Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к.

в знаменателе находятся только числа. Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

Например, как решить дробное уравнение: x/5+4=9 Умножаем обе части на 5. Получаем: х+20=45 x=45-20=25 Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе: b/x + c = d Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

Рациональные уравнения. Подробная теория с примерами

Как найти корень уравнения с дробями

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Определение рационального уравнения Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные Целые рациональные уравнения Дробно рациональные уравнения Алгоритм правильного решения рациональных уравнений РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ. Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

Определение рационального уравнения

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения.

Ну… это было сухое математическое определение и слово-то какое, «рациональные».

А по сути, рациональные выражения это просто целые и дробные выражения без знака корня.

Что же получается?

А получается что под пугающим «рациональным уравнением» скрывается всего лишь уравнение, в котором могут присутствовать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем, но НЕ корень из переменной.

Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные

Как думаешь, какое это уравнение?

Тут есть сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!

А это?

Вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное).

Что скажешь насчет этого?

А это – рациональное.

А здесь?

Тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение.

А вот это с отрицательным показателем степени?

Даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути , это

Ну и вот это?

Тоже рациональное, т.к.

И последней с дробной степенью?

А с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней

Как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает.

Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

Целые рациональные уравнения

Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают.

Если в дроби нет деления на переменную (то есть на , и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением.

Вот примеры:

Умеешь такие решать?

Конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное. Но, рассмотрим первый из примеров на всякий случай.

Пример 1

Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:

;

Какой наименьший общий знаменатель будет?

Правильно !

Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемого на , а второго на ,

А не трогаем, оно нам не мешает, имеем:

А теперь делим обе части на :

Тут все просто?

Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет, , так

Можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим , значит все верно и ответ подходит.

Дробно рациональные уравнения

А вот еще одно уравнение .

Это уравнение целое?

НЕТ!!!

Тут есть деление на переменную , а это говорит о том, что уравнение не целое.

Тогда какое же оно?

Это дробно рациональное уравнение.

Дробно рациональное уравнение — рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно…

Ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет .

Важный момент!!!

В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных.

Но тут-то наименьший общий знаменатель .

А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

Решая дробно рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!

Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?

Выносим за скобку общий множитель:

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при и .

Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни и в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок.

Сначала подставим , получается

Нет претензий?

С ним все нормально.

А теперь , и тут же видим в знаменателе первого члена !

Но ведь это же будет ноль!

На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

Дело в ОДЗ! (если забыл что это, повтори тему «ОДЗ») —

Области Допустимых Значений

Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть ПЕРЕМЕННЫЕ в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ.

Найти какие значения может принимать икс.

Хотя удобнее в ОДЗ написать чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

Просто запомни, что на ноль делить нельзя!

И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ: и и .

Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить.

И так, из полученных нами и мы смело исключаем , т.к. он противоречит ОДЗ.

Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

В ответ стоит написать только один корень, .

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе.

Возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Алгоритм правильного решения рациональных уравнений

Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
Определить ОДЗ;
Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
Решить получившееся целое уравнение;
Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Усвоил, говоришь? Вот тебе 3 примера на закрепление.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Например:

Чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения.

В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду:

Произведение = » » или Дробь = » «, например:

Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.

Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: » » на » » и наоборот).

Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

Пример 5

Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

Пример 6

Перегруппируем:

Раскроем скобки в каждой группе:

Сделаем замену:

Тогда:

Решив квадратное уравнение, получим:

Обратная замена:

Таким образом, нам пришлось решить три квадратных уравнения вместо одного уравнения 4-й степени.

Еще примеры дробно рациональных уравнений (реши их самостоятельно):

Пример 8

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим знаменатель правой дроби на множители.

Это квадратный трехчлен, поэтому надо вспомнить, как расклажывать на множители (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»).

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

Решаем его с помощью теоремы Виета: произведение корней равно , а сумма .

Подбором устанавливаем, что это числа и .

Тогда:

Теперь видно, что знаменатели дробей имеют общий множитель :

При таком раскладе очевидно, что корней вообще нет.

Если , получим деление на .

Значит, ответом здесь будет пустое множество (пишется ).

Ответ: .

Пример 9

Сперва уростим выражение в левой части, то есть приведем к нормальному «двухэтажному» виду:

Теперь переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю.

Квадратный трехчлен в левой части раскладывается на множители следующим образом:

Очевидно, что общих множителей у знаменателей нет, поэтому их нужно просто перемножить:

Ответ: .

Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

Рациональное уравнение – это равенство двух рациональных (без знака корня) выражений.

Алгоритм решения рациональных уравнений:

Понять, точно ли это рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
Определить ОДЗ;
Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
Решить получившееся целое уравнение;
Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Дробно рациональное уравнение — рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

Система для решения дробно рациональных уравнений:

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений…

Как решать уравнения с дробями — Ответы на все вопросы

Как найти корень уравнения с дробями

06.11.2019

Линейные уравнения с дробями не содержат переменной в знаменателе. Чтобы решить линейное уравнение с дробями, удобно избавиться от знаменателей.

Для этого нужно найти наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей и обе части уравнения умножить на это число.

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 6. Дополнительный множитель к первой дроби равен 2, ко второй — 3, к 5 — 6. Умножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель:

В результате наименьший общий знаменатель и знаменатель каждой дроби сокращаются, и получаем линейное уравнение, не содержащее дробей.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть
Ответ: -4 6/7.
Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 20. Найдем дополнительный множитель к каждой дроби и умножим обе части уравнения на 20:

Можно, конечно, сразу же умножить дополнительный множитель на числитель каждой дроби. Но, к сожалению, наибольшее количество ошибок при решении линейных уравнений с дробями допускается именно на этом шаге. Скобки — друзья ученика :). Поэтому лучше воспользоваться их помощью:

Особенно полезны скобки в случае, когда перед дробью стоит знак «минус».
После раскрытия скобок можно сразу же перенести неизвестные в одну сторону уравнения, известные — в другую (не забыв при переносе изменить их знаки), а можно сначала упростить каждую часть, приведя подобные слагаемые, а потом уже переносить.
Ответ: -34.
Здесь наименьший общий знаменатель дробей равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби и умножаем обе части уравнения на 12:
Раскрываем скобки и упрощаем
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
Ответ: -5.
Уравнения такого вида можно решить, использовать основное свойство пропорции (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов):
при делении двух отрицательных чисел получается положительное число, поэтому минусы можно сразу же не писать.
Если это возможно, лучше ответ записать в виде десятичной дроби:
Ответ: 0,1875.

Источник:

Решение уравнений с дробями 5 класс

Обыкновенные дроби
часть 3
5 класс

– Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
– Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
– Решение уравнений.
– Решение задач.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
3
3+1
1
4
=
+
=
8
8
8
8
1
8
3
3+5
5
=
=
+
=
8
8
8
8

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.
3
3-1
1
2
=
–
=
8
8
8
8
0
3
3
–
=
8
8

Решение уравнений.
При решении уравнений необходимо пользоваться правилами решения уравнений, свойствами сложения и вычитания.
Решение уравнений с применением свойств.
Решение уравнений с использованием правил.

Решите уравнение.
Подсказка 1
Выражение в левой части уравнения является суммой.
51
32
=
;
х
+
85
85
32
51
Подсказка 2
слагаемое + слагаемое = сумма.
х
=
–
;
85
85
19
х
=
.
85
Подсказка 3
Чтобы найди неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
19
Ответ:
85

Решите уравнение.
Выражение в левой части уравнения является разностью.
Подсказка 1
12
78
=
;
у
–
90
90
12
78
Подсказка 2
уменьшаемое – вычитаемое = разность
у
=
–
;
90
90
66
у
=
.
90
Чтобы найди неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Подсказка 3
66
Ответ:
90

Решите уравнение.
Выражение в левой части уравнения является разностью.
Подсказка 1
8
11
а
=
–
;
25
25
8
11
Подсказка 2
уменьшаемое – вычитаемое = разность
а
=
+
;
25
25
19
а
=
.
Чтобы найди неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Подсказка 3
25
19
Ответ:
25

Решите уравнение.
(
7
3
18
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРАВИЛ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ.
+
х
+
=
(
;
19
19
19
В левой части уравнения выражение является суммой.
Подсказка 1
3
18
7
+
=
х
;
–
19
19
19
3
11
=
х
+
Подсказка 2
;
Неизвестное содержится в слагаемом.
19
19
11
3
х
=
;
–
19
19
8
8
х
.
=
Ответ:
19
19

Решите уравнение.
(
5
37
17
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРАВИЛ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ.
–
у
=
(
+
;
44
44
44
В левой части уравнения выражение является разностью.
Подсказка 1
5
37
17
=
у
+
;
–
44
44
44
5
20
=
у
+
Подсказка 2
;
Неизвестное содержится в вычитаемом.
44
44
20
5
у
=
;
–
44
44
15
15
у
.
=
Ответ:
44
44

Решите уравнение.
18
8
21
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРАВИЛ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ.
b
+
=
–
;
73
73
73
Подсказка 1
В левой части уравнения выражение является разностью.
18
8
21
b
+
;
=
+
73
73
73
29
18
=
+
Подсказка 2
Неизвестное содержится в уменьшаемом.
b
;
73
73
29
18
=
b
;
–
73
73
11
11
b
Ответ:
.
=
73
73

Решите уравнение.
(
7
3
18
ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
+
х
+
=
(
;
19
19
19
В левой части уравнения можно применить сочетательное свойство сложения .
Подсказка 1
7
3
18
+
;
+
=
х
19
19
19
10
18
=
х
+
Подсказка 2
;
Чтобы к числу прибавить сумму , можно к этому числу прибавить сначала одно слагаемое, а потом другое.
19
19
18
10
х
=
;
–
19
19
8
8
х
.
=
Ответ:
19
19

Решите уравнение.
(
5
37
17
ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
–
у
=
(
+
;
44
44
44

В левой части уравнения можно применить свойство вычитания суммы из числа. .

Подсказка 1
37
5
17
–
;
–
=
у
44
44
44
32
17
=
у
–
Подсказка 2
;
Чтобы из числа вычесть сумму, можно вычесть сначала одно слагаемое, а потом другое.
44
44
32
17
у
=
;
–
44
44
15
15
у
.
=
Ответ:
44
44

Решите уравнение.
8
18
21
ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
+
b
=
–
;
73
73
73
Подсказка 1
В левой части уравнения можно применить свойство вычитания числа из суммы.
18
21
8
–
;
+
=
b
73
73
73
10
21
=
b
+
Подсказка 2
Чтобы вычесть число из суммы, можно сначала вычесть это число из одного слагаемого, а потом прибавить другое.
;
73
73
21
10
=
b
;
–
73
73
11
11
b
.
=
Ответ:
73
73